Signal Processing

信原笔记

时域	频域
周期	离散
非周期	连续
连续	非周期
离散	周期

有的公式

1. IFT
   
2. 时域乘等于频域卷积

复习

一、周期信号的傅里叶级数展开 FS

傅里叶展开完备性证明

证明

定义一

是冲激函数的周期延拓。

定义二

合理取，使得。

性质一

观察函数图像的变化可以看出，k越大，函数越尖，越接近冲激函数。

性质二

积化和差

性质三

积分性质

用积化和差可以证明

证明

对于函数，不失一般性，设其周期为，其傅里叶级数展开为

系数关系

根据性质三的正交性，我们可以得到

令

则有

对于，我们可以将其视为一系列sin和cos的线性组合，这是一个特例，根据函数解析式可以看出，并不是应用了傅里叶展开。所以有

取极限

所以

QED

从对一个特定函数等号成立，推广到对所有函数等号都成立。

三角函数形式

三角函数

指数形式

正交函数

二、非周期信号的傅里叶变换 FT

将一个非周期信号周期延拓成周期信号，对应系数有如下关系

三、采样信号的傅里叶变换

对一个信号进行sample

一个特殊的函数

证明

方法一

考虑直接用定义求解

方法二

对于周期函数，有

则

利用了的性质以及频移特性。

对于，有

结合两种方法，我们可以得出俩公式

四、离散信号的傅里叶变换 DFT

五、数字信号

模拟频率的奈奎斯特区间
数字频率的奈奎斯特区间

证明：

六、有限长离散时间傅里叶变换 DTFT

路数一：直接截取

路数二：窗函数

七、离散傅里叶变换 DFT

L表示时间域上的有限长度，N表示频域上的有限长度。

可以简写为

对应的矩阵为

IDFT：

DFT是对DTFT频谱的抽样保存

八、快速傅里叶变换 FFT

滤波器

差分方程